Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Цилиндр

На рисунке изображена часть цилиндра, вырезанная плоскостью, проходящей через ось. Это означает, что мы имеем сектор цилиндра с центральным углом 60°.

Шаг 1. Определим параметры цилиндра. Из условия: радиус $R = 12$, высота $H = 6$.

Шаг 2. Вспомним формулу объёма полного цилиндра: $$V_{\text{полный}} = \pi R^2 H$$

Шаг 3. Объём части цилиндра, соответствующей сектору с углом $\alpha$ (в градусах), вычисляется как доля от полного объёма: $$V = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi R^2 H$$

Это аналогично тому, как площадь сектора круга составляет долю площади полного круга.

Шаг 4. Подставим угол 60° и параметры цилиндра: $$V = \frac{60°}{360°} \cdot \pi \cdot 12^2 \cdot 6$$

Шаг 5. Упростим дробь: $$V = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 144 \cdot 6$$

Шаг 6. Вычислим: $$V = \frac{1}{6} \cdot 144 \cdot 6 \cdot \pi = 144\pi$$

Шаг 7. По условию задачи нужно найти $\frac{V}{\pi}$: $$\frac{V}{\pi} = \frac{144\pi}{\pi} = 144$$