Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Цилиндр

Фигура представляет собой часть цилиндра, отсечённую плоскостью, проходящей через ось. Нужно найти объём этого сегмента.

Шаг 1: Определим параметры цилиндра Из рисунка видны: радиус $r = 15$ и высота $h = 15$.

Шаг 2: Найдём угол сектора Плоскость отсекает часть цилиндра, образуя сектор с углом $300°$. Это означает, что оставшаяся часть составляет ровно $\frac{5}{6}$ от полного цилиндра (так как $\frac{300°}{360°} = \frac{5}{6}$).

Шаг 3: Применим формулу объёма части цилиндра Объём сектора цилиндра вычисляется по формуле: $$V = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2 h$$

где $\alpha$ — центральный угол сектора в градусах.

Шаг 4: Подставим значения $$V = \frac{300°}{360°} \cdot \pi \cdot 15^2 \cdot 15 = \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot 225 \cdot 15$$

Шаг 5: Вычислим $$V = \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot 3375 = \frac{16875\pi}{6} = 2812,5\pi$$

Оставшаяся часть: $V_{полный} - V_{сектор} = \pi \cdot 225 \cdot 15 - 2812,5\pi = 3375\pi - 2812,5\pi = 562,5\pi$.

Однако по условию берём именно отсечённую часть (угол $300°$): $$\frac{V}{\pi} = \frac{5}{6} \cdot 225 \cdot 15 = \frac{5 \cdot 3375}{6} = 937,5$$