Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Цилиндр

На рисунке изображена часть цилиндра — это кольцо, которое получается, если из большого цилиндра вычесть меньший цилиндр, соосный с ним.

Шаг 1. Определяем параметры большого цилиндра. Радиус внешнего основания: $R_1 = 5$ Высота: $H = 5$

Шаг 2. Определяем параметры малого цилиндра (полость внутри). Радиус внутреннего основания: $R_2 = 2$ Высота та же: $H = 5$

Шаг 3. Вычисляем объём нужной части. Объём кольцевой части равен разности объёмов цилиндров: $$V = V_{\text{большой}} - V_{\text{малый}} = \pi R_1^2 H - \pi R_2^2 H$$

Вынесем общие множители: $$V = \pi H(R_1^2 - R_2^2)$$

Шаг 4. Подставляем числовые значения: $$V = \pi \cdot 5 \cdot (5^2 - 2^2) = 5\pi(25 - 4) = 5\pi \cdot 21 = 105\pi$$

Шаг 5. В ответе требуется указать $\frac{V}{\pi}$: $$\frac{V}{\pi} = \frac{105\pi}{\pi} = 105$$