ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Цилиндр

Задача 27091. Цилиндр

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.8* Объём цилиндра, конуса, шараОбъём цилиндра, конуса, шара

В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Объём вытесненной жидкости равен объёму погруженного тела; увеличение уровня в 1,5 раза при постоянной площади основания означает увеличение полного объёма в 1,5 раза, откуда следует, что объём детали — это разность между новым и исходным объёмами.

Обозначим исходный объём воды как V0=6V_0 = 6 см³.

Когда деталь погружается в воду, уровень жидкости в цилиндре повышается. Так как площадь основания цилиндра постоянна, увеличение высоты жидкости в 1,5 раза означает увеличение её объёма в 1,5 раза.

Объём жидкости после погружения детали: Vновый=1,5⋅V0=1,5⋅6=9 см3V_{\text{новый}} = 1,5 \cdot V_0 = 1,5 \cdot 6 = 9 \text{ см}^3

Важный момент: когда деталь целиком находится под водой, общий объём в сосуде равен сумме объёма воды и объёма самой детали.

Отсюда: Vновый=V0+VдеталиV_{\text{новый}} = V_0 + V_{\text{детали}}

Подставляем известные значения: 9=6+Vдетали9 = 6 + V_{\text{детали}}

Vдетали=9−6=3 см3V_{\text{детали}} = 9 - 6 = 3 \text{ см}^3

Типичные ошибки

  • Забыли, что увеличение уровня в k раз при цилиндрическом сосуде означает увеличение объёма в k раз (площадь основания не меняется)
  • Приняли увеличение в 1,5 раза за увеличение на 1,5, а не за умножение на 1,5
  • Неправильно применили принцип Архимеда, не связав прирост объёма жидкости с объёмом детали

Ещё задачи этой подтемы