Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Цилиндр

Объём жидкости остаётся неизменным при переливании из одного сосуда в другой.

Шаг 1: Запишем формулу объёма цилиндра через диаметр.

Объём цилиндра: $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус, $h$ — высота.

Поскольку радиус $r = \frac{d}{2}$, получаем: $$V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h = \frac{\pi d^2 h}{4}$$

Шаг 2: Найдём объём жидкости в первом сосуде.

В первом сосуде высота жидкости $h_1 = 16$ см, диаметр $d_1 = d$: $$V = \frac{\pi d^2 \cdot 16}{4} = 4\pi d^2$$

Шаг 3: Найдём высоту жидкости во втором сосуде.

Во втором сосуде диаметр $d_2 = 2d$, высота жидкости $h_2 = ?$

Объём тот же: $$V = \frac{\pi (2d)^2 h_2}{4} = \frac{\pi \cdot 4d^2 \cdot h_2}{4} = \pi d^2 h_2$$

Шаг 4: Приравняем объёмы.

$$4\pi d^2 = \pi d^2 h_2$$

Делим обе части на $\pi d^2$: $$h_2 = 4 \text{ см}$$

При увеличении диаметра в 2 раза его квадрат увеличивается в 4 раза, поэтому высота для сохранения объёма уменьшается в 4 раза: $\frac{16}{4} = 4$.