Задание 3 ЕГЭ профиль: комбинации тел в стереометрии

О чём эта подтема

В задании 3 профильного ЕГЭ часто встречаются задачи, где одно тело вписано в другое или описано around него: конус в цилиндре, шар в цилиндре, шар в конусе, призма в цилиндре и другие сочетания. Задача не требует сложных построений — рисунок обычно уже дан. Главное умение здесь — правильно связать элементы двух тел (радиусы, высоты, диагонали) через геометрические соотношения, а затем подставить их в формулы площади или объёма.

Сложность таких заданий не в вычислениях, а в том, чтобы увидеть, какие величины у тел совпадают или как они связаны. Как только это установлено, решение сводится к паре алгебраических действий.

Что нужно знать

Для уверенного решения нужно держать в голове формулы объёма и площади поверхности основных тел, а также типовые соотношения при комбинациях.

Формулы объёма:

• Цилиндр: $V_ц = \pi R^2 H$
• Конус: $V_к = \dfrac{1}{3}\pi R^2 H$
• Шар: $V_ш = \dfrac{4}{3}\pi r^3$
• Призма: $V_{пр} = S_{осн}\cdot H$
• Пирамида: $V_{пир} = \dfrac{1}{3} S_{осн}\cdot H$

Формулы площади поверхности:

• Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок.ц} = 2\pi R H$
• Площадь полной поверхности цилиндра: $S_{ц} = 2\pi R^2 + 2\pi R H = 2\pi R(R+H)$
• Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок.к} = \pi R l$, где $l$ — образующая
• Площадь полной поверхности конуса: $S_к = \pi R^2 + \pi R l$
• Площадь поверхности шара: $S_ш = 4\pi r^2$

Типовые соотношения при комбинациях тел:

1. Конус вписан в цилиндр (общее основание и общая высота): радиусы оснований равны, высоты равны. Тогда $V_ц = 3V_к$, так как в формуле конуса стоит множитель $\frac13$.

2. Шар вписан в цилиндр: шар касается обеих оснований и боковой поверхности. Тогда диаметр шара равен и диаметру основания цилиндра, и его высоте: $2r = R_ц$ — нет, точнее радиус цилиндра равен радиусу шара $R_ц = r$, а высота цилиндра равна диаметру шара $H = 2r$.

3. Шар вписан в конус: шар касается основания и боковой поверхности конуса. Связь радиуса шара с элементами конуса выражается через отношения в осевом сечении (равнобедренный треугольник и вписанная окружность).

4. Цилиндр вписан в шар (или шар описан около цилиндра): все точки окружностей оснований цилиндра лежат на сфере. Тогда радиус сферы, радиус цилиндра и половина его высоты связаны теоремой Пифагора: $R_ш^2 = R_ц^2 + \left(\dfrac{H}{2}\right)^2$.

5. Конус и цилиндр имеют общее основание, но разную высоту — в этом случае напрямую формулу пропорции $V_ц = 3V_к$ применять нельзя, нужно смотреть отдельно на радиус и высоту каждого тела.

Важно не путать вписанные и описанные конфигурации: слово «вписан» означает, что тело находится внутри другого и касается его границ, «описан» — что внешнее тело охватывает внутреннее. Иногда в условии прямо не сказано слово «вписан», но по рисунку видно совпадение размеров — тогда нужно внимательно смотреть на общие элементы (общее основание, общая высота, общий центр).

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на комбинации тел практически всегда одинаковый.

1. Определите тип комбинации. Прочитайте условие и посмотрите на рисунок: что во что вписано, какие тела имеют общие элементы (основание, высоту, вершину, центр).

2. Введите обозначения для общих величин. Обычно достаточно одной-двух переменных: радиус $R$ (или $r$), высота $H$. Не нужно вводить лишние переменные — используйте те, что связывают оба тела.

3. Запишите соотношение между размерами тел, вытекающее из условия вписанности/описанности (см. список выше). Часто это просто равенство радиусов или высот, иногда — теорема Пифагора для сферы вокруг цилиндра.

4. Запишите нужные формулы (объёма или площади) для обоих тел через одни и те же переменные.

5. Составьте пропорцию или уравнение, используя данное в условии значение (объём одного тела, площадь одного тела и т.д.), и найдите искомую величину.

6. Проверьте разумность ответа — численно и по смыслу (например, объём цилиндра, описанного около конуса с тем же основанием и высотой, должен быть больше объёма конуса).

Ключевая идея: не нужно находить численные значения $R$ и $H$ по отдельности, если задача требует только отношение объёмов или площадей — часто общий множитель просто сокращается.

Разбор примера

Пример 1. Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 5.

Решение.

Шаг 1. Определяем тип комбинации: конус и цилиндр имеют общий радиус основания $R$ и общую высоту $H$.

Шаг 2. Записываем формулы объёма для обоих тел через одни и те же $R$ и $H$: $$V_к = \frac{1}{3}\pi R^2 H, \qquad V_ц = \pi R^2 H.$$

Шаг 3. Замечаем, что $\pi R^2 H$ — общий множитель в обеих формулах. Значит: $$V_ц = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi R^2 H\right) = 3 V_к.$$

Шаг 4. Подставляем данное значение объёма конуса: $$V_ц = 3 \cdot 5 = 15.$$

Ответ: 15.

Этот пример показывает главную идею комбинаций «с общими элементами»: не нужно искать конкретные $R$ и $H$ — достаточно заметить, что формулы отличаются только числовым коэффициентом.

Пример 2. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение.

Шаг 1. Определяем тип комбинации: шар вписан в цилиндр, значит шар касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Из этого следует, что радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра равна диаметру шара.

Обозначим радиус шара через $r$. Тогда: $$R_ц = r, \qquad H_ц = 2r.$$

Шаг 2. Записываем формулу площади полной поверхности цилиндра через $r$: $$S_ц = 2\pi R_ц^2 + 2\pi R_ц H_ц = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot 2r = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2.$$

Шаг 3. Подставляем данное значение площади: $$6\pi r^2 = 18 \quad\Rightarrow\quad \pi r^2 = 3.$$

Шаг 4. Находим площадь поверхности шара по формуле $S_ш = 4\pi r^2$: $$S_ш = 4 \cdot 3 = 12.$$

Ответ: 12.

Здесь ключевой шаг — правильно связать радиус шара с размерами цилиндра. Ошибка на этом этапе (например, перепутать высоту цилиндра с радиусом) сразу даёт неверный итоговый ответ.

Типичные ошибки

• Путаница между «вписан» и «описан». Нужно чётко понимать, какое тело находится внутри, а какое снаружи, иначе соотношения размеров будут перевёрнуты.

• Неверное определение общих элементов. Например, ошибочно считать, что высота конуса равна образующей, или что диаметр шара равен радиусу цилиндра, а не его высоте.

• Забывают, что при вписанном шаре в цилиндр высота цилиндра равна именно диаметру шара, а не радиусу. Это самая частая ошибка в такой конфигурации.

• Использование формулы бокового объёма вместо полного или наоборот — при вычислении площади поверхности нужно внимательно читать, о какой площади идёт речь: полной, боковой или только основания.

• Механическая подстановка чисел без понимания смысла соотношения. Иногда School students просто ищут два числа и делят их, не разобравшись, какая связь между телами задана условием.

• Ошибки в арифметике при работе с $\pi$. В таких задачах $\pi$ часто сокращается — если после упрощения в ответе осталось число с $\pi$, а в условии все числа целые, стоит перепроверить вычисления.

• Путают радиус и диаметр. Особенно часто в задачах с шаром: радиус шара — это половина того, что может быть визуально принято за «размер» шара на рисунке.

На что обратить внимание на экзамене

Задание 3 обычно не требует пространственного воображения — рисунок и условие дают всю нужную информацию, задача экзаменуемого — правильно её формализовать. Перед началом решения полезно кратко выписать: какое тело во что вписано, что из этого следует про радиусы и высоты, какая величина дана и какая требуется.

Если в задаче фигурируют объёмы двух тел с общими радиусом и высотой, почти всегда достаточно сравнить формулы и найти коэффициент пропорциональности — не нужно вычислять сами $R$ и $H$. Это экономит время.

Если задача связана с площадью поверхности при вписанном шаре, важно сразу перевести все размеры через радиус шара $r$ — тогда формулы упрощаются, и $\pi$ обычно сокращается на промежуточном шаге.

Перед записью окончательного ответа стоит быстро проверить размерность и правдоподобность числа: если объём или площадь получились отрицательными, дробными «некрасивыми» числами при том, что условие подразумевает целочисленный ответ, вероятно, где-то была допущена ошибка в соотношении размеров.

Наконец, полезно заранее выучить наизусть все формулы объёма и площади поверхности цилиндра, конуса и шара — в задании 3 их не дают в виде справочного материала, а рассчитывать на интуицию рискованно.