Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Шаг 1. Найдём диагональ куба.

Для куба с ребром $a = \sqrt{3}$ пространственная диагональ (от одной вершины к противоположной через центр куба) вычисляется по формуле: $$d = a\sqrt{3}$$

Подставляем значение: $$d = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$$

Шаг 2. Определим радиус описанного шара.

Центр шара, описанного около куба, совпадает с центром куба. Вершины куба лежат на поверхности шара, поэтому расстояние от центра до любой вершины равно радиусу. Это расстояние составляет половину диагонали куба: $$R = \frac{d}{2} = \frac{3}{2}$$

Шаг 3. Вычислим объём шара.

Используем стандартную формулу объёма шара: $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$

Подставляем $R = \frac{3}{2}$: $$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{8} = \frac{108\pi}{24} = \frac{9\pi}{2}$$

Шаг 4. Найдём объём, делённый на π.

$$\frac{V}{\pi} = \frac{9\pi}{2\pi} = \frac{9}{2} = 4{,}5$$