ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Комбинации тел

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

В подтеме 41 задач
Разбор
Главная идея: Вписанный цилиндр имеет высоту, равную высоте параллелепипеда, а его основание — окружность, вписанная в квадратное основание параллелепипеда, что однозначно определяет размеры основания через радиус цилиндра.

Когда цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, его высота совпадает с высотой параллелепипеда.

Основание параллелепипеда — прямоугольник, в который вписана окружность (основание цилиндра). Окружность можно вписать только в прямоугольник, который является квадратом. Для квадрата со стороной aa, описанного около окружности радиуса rr, диаметр окружности равен стороне квадрата: a=2ra = 2r.

По условию радиус основания цилиндра r=4r = 4, поэтому сторона квадратного основания: a=2⋅4=8a = 2 \cdot 4 = 8

Площадь основания параллелепипеда: Sосн=82=64S_{\text{осн}} = 8^2 = 64

Объём параллелепипеда выражается через площадь основания и высоту: V=Sосн⋅HV = S_{\text{осн}} \cdot H

Подставляем известные значения (V=16V = 16, Sосн=64S_{\text{осн}} = 64): 16=64⋅H16 = 64 \cdot H H=1664=14=0,25H = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 0,25

Высота цилиндра равна 0,25.

Типичные ошибки

  • Перепутано, какие размеры связаны: сторона квадрата равна диаметру (то есть 2r), а не радиусу цилиндра
  • Забыли, что основание — именно квадрат, а не произвольный прямоугольник (в него можно вписать окружность только если это квадрат)
  • Неправильно применена формула объёма: использована формула боковой поверхности или другая неподходящая формула вместо V=Sосн⋅HV = S_{\text{осн}} \cdot H
Непонятно?

Похожие задачи