Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Когда шар вписан в цилиндр, он касается обоих оснований и боковой поверхности. Это значит, что диаметр шара равен высоте цилиндра, а радиус шара равен радиусу цилиндра.

Обозначим радиус шара (и основания цилиндра) как $r$. Тогда высота цилиндра $h = 2r$.

Шаг 1. Найдём площадь полной поверхности цилиндра.

Полная поверхность состоит из двух оснований и боковой поверхности: $$S_{цил} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Подставим $h = 2r$: $$S_{цил} = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot 2r = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$$

По условию эта площадь равна 18: $$6\pi r^2 = 18$$ $$\pi r^2 = 3$$

Шаг 2. Найдём площадь поверхности шара.

Площадь поверхности шара радиуса $r$: $$S_{шара} = 4\pi r^2$$

Поскольку $\pi r^2 = 3$: $$S_{шара} = 4 \cdot 3 = 12$$