ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Комбинации тел

Задача 27041. Комбинации тел

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

В подтеме 41 задач
Разбор
Главная идея: Цилиндр вписан в параллелепипед так, что его основание — вписанная в квадратное основание окружность, а высота совпадает с высотой параллелепипеда; сторона квадрата равна диаметру цилиндра.

Когда цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, это значит, что цилиндр касается всех боковых граней и его основания лежат на основаниях параллелепипеда.

Шаг 1: Высота параллелепипеда. Высота параллелепипеда совпадает с высотой цилиндра, то есть H=1H = 1.

Шаг 2: Форма основания параллелепипеда. Основание параллелепипеда — это прямоугольник, в который вписана окружность (основание цилиндра). Прямоугольник может содержать окружность только если он квадрат. Это потому, что окружность касается всех четырёх сторон основания, а значит они находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Шаг 3: Сторона квадрата основания. Для квадрата, описанного около окружности радиуса rr, сторона квадрата равна диаметру окружности: a=2r=2⋅1=2a = 2r = 2 \cdot 1 = 2.

Шаг 4: Площадь основания. Площадь квадратного основания: Sосн=a2=22=4S_{осн} = a^2 = 2^2 = 4.

Шаг 5: Объём параллелепипеда. Используем формулу: V=Sосн⋅H=4⋅1=4V = S_{осн} \cdot H = 4 \cdot 1 = 4.

Типичные ошибки

  • Забывают, что основание параллелепипеда обязательно квадрат, а не произвольный прямоугольник.
  • Путают, какая окружность вписана: считают, что окружность описана около основания (тогда сторона будет r2r\sqrt{2}).
  • Неверно связывают радиус с размером основания, забывая, что расстояние от центра до стороны квадрата равно половине стороны, а не самой стороне.

Ещё задачи этой подтемы