Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Обозначим радиус шара как $R$. По условию радиус основания конуса тоже равен $R$.

Шаг 1: Найдём высоту конуса.

Так как конус вписан в шар, его вершина и окружность основания лежат на сфере. Центр шара находится на оси конуса. Если поместить центр шара в начало координат на оси, то основание конуса расположено на расстоянии $h_1$ от центра, а вершина — на расстоянии $h_2$ от центра (в противоположную сторону).

Из условия, что точки основания удалены от центра на $R$: $$R^2 = R^2 + h_1^2$$

Это означает $h_1 = 0$ — центр шара лежит в плоскости основания конуса.

Вершина конуса тоже на сфере, поэтому расстояние от центра до вершины равно $R$. Таким образом, высота конуса $h = R$.

Шаг 2: Используем формулу объёма конуса.

$$V_{конус} = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3}\pi R^3 = 6$$

Отсюда: $\pi R^3 = 18$

Шаг 3: Найдём объём шара.

$$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \cdot 18 = 24$$