Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Шаг 1. Связь между диагональю куба и радиусом описанного шара

Когда куб вписан в шар, все его вершины лежат на поверхности шара. Диагональ куба (отрезок, соединяющий две противоположные вершины через центр) проходит через центр шара и является его диаметром.

Диаметр шара в два раза больше радиуса: $$D = 2R = 2\sqrt{3}$$

Шаг 2. Формула диагонали куба через ребро

Для куба с ребром $a$ диагональ находится по теореме Пифагора. Сначала находим диагональ основания: $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Затем применяем теорему Пифагора ещё раз, учитывая высоту куба: $$d = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

Шаг 3. Найдём ребро куба

Приравниваем диагональ куба к диаметру шара: $$a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

Делим обе части на $\sqrt{3}$: $$a = 2$$

Шаг 4. Вычислим объём

Объём куба с ребром $a = 2$: $$V = a^3 = 2^3 = 8$$