ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Комбинации тел

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.7.2* Комбинации стереометрических тел5.5.8* Объём цилиндра, конуса, шара

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на Пи .

В подтеме 41 задач
Разбор
Главная идея: Радиус вписанного в куб шара равен половине его ребра, после чего применяется формула объёма шара и деление на π.

Когда шар вписан в куб, он касается всех шести граней куба. Это означает, что диаметр шара равен длине ребра куба.

Шаг 1. Найдём радиус шара.

Поскольку ребро куба равно 3, диаметр вписанного шара также равен 3. Значит: r=a2=32r = \frac{a}{2} = \frac{3}{2}

Шаг 2. Вычислим объём шара.

Используем стандартную формулу объёма шара: V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3

Подставляем r=32r = \frac{3}{2}: V=43π(32)3=43π⋅278=4⋅273⋅8π=10824π=92πV = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{8} = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 8}\pi = \frac{108}{24}\pi = \frac{9}{2}\pi

Шаг 3. Разделим объём на π\pi.

По условию нужно найти Vπ\frac{V}{\pi}: Vπ=92π⋅1π=92=4,5\frac{V}{\pi} = \frac{9}{2}\pi \cdot \frac{1}{\pi} = \frac{9}{2} = 4,5

Типичные ошибки

  • Ошибка при возведении дроби в степень: забывают возводить в куб и числитель, и знаменатель
  • Путают диаметр и радиус: берут радиус равным длине ребра вместо половины ребра
  • Ошибка в упрощении дроби: неправильно сокращают 108/24
Непонятно?

Похожие задачи