Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Шаг 1. Связь между радиусом шара и ребром куба.

Когда шар вписан в куб, он касается всех шести граней куба. Это означает, что диаметр шара равен ребру куба. Если радиус шара обозначить как $R$, то диаметр равен $2R$, следовательно: $$a = 2R$$ где $a$ — ребро куба.

Шаг 2. Выражаем объём куба через радиус шара.

Объём куба вычисляется по формуле: $$V_{куб} = a^3 = (2R)^3 = 8R^3$$

Шаг 3. Используем формулу объёма шара.

Объём шара выражается формулой: $$V_{шар} = \frac{4}{3}\pi R^3$$

По условию $V_{шар} = 6\pi$, подставляем: $$\frac{4}{3}\pi R^3 = 6\pi$$

Шаг 4. Находим $R^3$.

Делим обе части на $\pi$: $$\frac{4}{3}R^3 = 6$$

Умножаем обе части на $\frac{3}{4}$: $$R^3 = 6 \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$$

Шаг 5. Вычисляем объём куба.

Подставляем $R^3 = \frac{9}{2}$ в формулу $V_{куб} = 8R^3$: $$V_{куб} = 8 \cdot \frac{9}{2} = 4 \cdot 9 = 36$$