Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Когда шар вписан в цилиндр, он касается обоих оснований и боковой поверхности. Это означает, что диаметр шара равен диаметру цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара.

Обозначим радиус шара (и одновременно радиус цилиндра) через $R$. Тогда высота цилиндра равна $h = 2R$.

Найдём объём цилиндра через $R$:

$$V_{\text{цил}} = \pi R^2 h = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$$

Найдём объём шара:

$$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = 60$$

Отсюда выражаем $\pi R^3$:

$$\pi R^3 = 60 \cdot \frac{3}{4} = 45$$

Подставим в формулу объёма цилиндра:

$$V_{\text{цил}} = 2\pi R^3 = 2 \cdot 45 = 90$$

Ответ: 90.