Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Шаг 1. Определим геометрическую конфигурацию.

Когда шар вписан в цилиндр, он касается обоих оснований и боковой поверхности. Это означает:

• высота цилиндра $h$ равна диаметру шара: $h = 2R$
• радиус основания цилиндра равен радиусу шара: $r = R$

Шаг 2. Найдём площадь полной поверхности цилиндра через радиус шара.

Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований: $$S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$$

Площадь одного основания: $S_{\text{осн}} = \pi R^2$

Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = 2\pi r \cdot h = 2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$

Полная поверхность: $$S_{\text{полн}} = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2$$

Шаг 3. Свяжем с площадью поверхности шара.

Площадь поверхности шара: $S_{\text{шара}} = 4\pi R^2 = 111$

Из этого: $\pi R^2 = \frac{111}{4}$

Шаг 4. Вычислим ответ.

$$S_{\text{полн}} = 6\pi R^2 = 6 \cdot \frac{111}{4} = \frac{666}{4} = 166,5$$