Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Обозначим радиус шара через $R$. По условию радиус основания конуса также равен $R$.

Шаг 1. Найдём высоту конуса.

Конус вписан в шар, значит вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара. Центр шара находится на оси конуса. Пусть центр шара — точка $O$, вершина конуса — точка $A$, центр основания конуса — точка $B$.

Рассстояние от центра шара до плоскости основания конуса обозначим $d$. Тогда расстояние от $O$ до вершины $A$ равно $R - d$ (вершина находится на поверхности шара, на расстоянии $R$ от центра).

Высота конуса: $h = (R - d) + d = R$.

Но уточним: если основание конуса расположено на расстоянии $d$ от центра шара, то вершина конуса находится на противоположной стороне на расстоянии $R$ от центра. Из условия, что радиус основания равен $R$, и используя теорему Пифагора для точки на окружности основания: $$R^2 = d^2 + R^2$$

Это даёт $d = 0$, то есть центр шара совпадает с центром основания конуса. Тогда высота конуса $h = R$.

Шаг 2. Вычислим объём конуса.

Объём конуса: $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot h = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3$.

Шаг 3. Свяжем с объёмом шара.

Объём шара: $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = 28$.

Отсюда: $\pi R^3 = 21$.

Тогда: $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi R^3 = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7$.