Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Шаг 1. Найдём соотношение между радиусом и высотой.

По условию цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Дано, что высота цилиндра равна радиусу основания: $$h = r$$

Шаг 2. Используем формулу боковой поверхности цилиндра.

Боковая поверхность цилиндра вычисляется по формуле: $$S_{цил} = 2\pi rh$$

Подставим $h = r$: $$2\pi r \cdot r = 3\sqrt{2}$$ $$2\pi r^2 = 3\sqrt{2}$$ $$\pi r^2 = 1,5\sqrt{2}$$

Это соотношение нам понадобится позже.

Шаг 3. Найдём образующую конуса.

Образующая конуса $l$, его высота $h$ и радиус основания $r$ связаны теоремой Пифагора: $$l^2 = h^2 + r^2$$

Поскольку $h = r$: $$l^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$$ $$l = r\sqrt{2}$$

Шаг 4. Найдём боковую поверхность конуса.

Боковая поверхность конуса равна: $$S_{кон} = \pi rl$$

Подставим $l = r\sqrt{2}$: $$S_{кон} = \pi r \cdot r\sqrt{2} = \pi r^2 \sqrt{2}$$

Из шага 2 знаем, что $\pi r^2 = 1,5\sqrt{2}$, поэтому: $$S_{кон} = 1,5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 1,5 \cdot 2 = 3$$