Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Проанализируем геометрию конуса, вписанного в шар.

Дано: радиус основания конуса $r = 3$, образующая $l = 6$.

Шаг 1. Найдём высоту конуса.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике (образующая, высота, радиус основания): $$h^2 + r^2 = l^2$$ $$h^2 + 9 = 36$$ $$h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

Шаг 2. Определим осевое сечение конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру конуса $d = 2r = 6$, и боковыми сторонами, равными образующей $l = 6$. Получается равносторонний треугольник со стороной 6.

Шаг 3. Найдём радиус описанной окружности треугольника.

Шар, в который вписан конус, проходит через вершину конуса и окружность его основания. Осевое сечение конуса вписано в диаметральное сечение шара (окружность радиуса $R$).

Для равностороннего треугольника со стороной $a = 6$ радиус описанной окружности: $$R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

Шаг 4. Вычислим площадь поверхности шара, делённую на $\pi$.

Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$

$$\frac{S}{\pi} = \frac{4\pi R^2}{\pi} = 4R^2 = 4 \cdot (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 12 = 48$$