Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Когда цилиндр описан около шара, шар касается обоих оснований цилиндра и боковой поверхности. Это означает, что радиус шара $R$ равен радиусу основания цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара, то есть $h = 2R$.

Шаг 1. Запишем формулу объёма цилиндра через радиус шара: $$V_{цил} = \pi r^2 h = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$$

По условию $V_{цил} = 33$, поэтому: $$2\pi R^3 = 33$$

Шаг 2. Выразим $\pi R^3$ из этого уравнения: $$\pi R^3 = \frac{33}{2}$$

Шаг 3. Используем формулу объёма шара: $$V_{шар} = \frac{4}{3}\pi R^3$$

Шаг 4. Подставим найденное значение $\pi R^3$: $$V_{шар} = \frac{4}{3} \cdot \frac{33}{2} = \frac{4 \cdot 33}{3 \cdot 2} = \frac{132}{6} = 22$$

Ответ: 22