Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму, значит окружность основания цилиндра вписана в правильный шестиугольник — основание призмы.

Шаг 1: Найдём сторону правильного шестиугольника.

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности связан со стороной $a$ формулой: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Отсюда выражаем сторону: $$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$$

Подставляем $r = \sqrt{3}$: $$a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$$

Шаг 2: Найдём периметр основания.

Правильный шестиугольник состоит из 6 равных сторон: $$P_{\text{осн}} = 6a = 6 \cdot 2 = 12$$

Шаг 3: Вычислим боковую поверхность призмы.

Боковая поверхность призмы равна произведению периметра основания на высоту: $$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = 12 \cdot 2 = 24$$

Высота призмы совпадает с высотой цилиндра, то есть $h = 2$.