Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Когда цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму, он касается всех четырёх боковых граней и обоих оснований.

Шаг 1. Определяем высоту призмы. Призма описана около цилиндра, поэтому цилиндр касается оснований призмы. Это означает, что высота призмы равна высоте цилиндра: $$H_{\text{призмы}} = h_{\text{цилиндра}} = 1$$

Шаг 2. Определяем сторону основания призмы. Цилиндр касается всех четырёх боковых граней. Основание призмы — квадрат, в который вписана окружность радиусом $r = 1$. Для окружности, вписанной в квадрат, диаметр окружности равен стороне квадрата: $$a = 2r = 2 \cdot 1 = 2$$

Шаг 3. Вычисляем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из 4 прямоугольников. Каждый прямоугольник имеет:

• ширина = сторона основания = 2
• высота = высота призмы = 1

Площадь одной боковой грани: $2 \times 1 = 2$

Общая площадь боковой поверхности: $$S_{\text{бок}} = 4 \times 2 = 8$$