Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Когда цилиндр вписан в призму, его основание — окружность, вписанная в треугольник основания призмы. Радиус этой окружности равен $r = \sqrt{3}$.

Шаг 1. Найдём сторону основания призмы.

Для правильного треугольника существует связь между стороной $a$ и радиусом вписанной окружности $r$: $$a = 2\sqrt{3}r$$

Подставляем $r = \sqrt{3}$: $$a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$$

Шаг 2. Вычислим периметр основания.

Периметр правильного треугольника: $$P = 3a = 3 \cdot 6 = 18$$

Шаг 3. Найдём боковую поверхность призмы.

Боковая поверхность призмы — это сумма площадей трёх прямоугольников (боковых граней). Формула: $$S_{\text{бок}} = P \cdot H$$

где $P$ — периметр основания, $H$ — высота призмы.

По условию высота цилиндра равна 2, и так как цилиндр вписан в призму, высота призмы также равна 2.

$$S_{\text{бок}} = 18 \cdot 2 = 36$$