Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Представим правильный тетраэдр с рёбрами длины $a$. Когда мы берём середины всех шести рёбер, получаем восемь новых вершин, которые образуют новый многогранник.

Шаг 1. Каждая грань исходного тетраэдра — это треугольник. На каждой грани исходного тетраэдра лежат три середины рёбер этой грани. Они образуют треугольник со сторонами, равными половинам исходных сторон.

Шаг 2. Если сторона грани тетраэдра равна $a$, то сторона треугольника из середин равна $\frac{a}{2}$. Площадь такого треугольника равна $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ от площади исходной грани (так как площадь подобной фигуры пропорциональна квадрату коэффициента подобия).

Шаг 3. Кроме того, между четырьмя треугольниками из середин (на гранях исходного тетраэдра) образуются четыре новых треугольных грани. Каждая такая грань — это перевёрнутый треугольник, образованный серединами трёх рёбер, выходящих из одной вершины исходного тетраэдра. Эти грани имеют ту же площадь, что и треугольники на гранях, — по $\frac{1}{4}$ площади грани.

Шаг 4. Итого новых граней: 4 (из середин на гранях) + 4 (перевёрнутые) = 8. Каждая имеет площадь $\frac{1}{4}S_i$, где $S_i$ — площадь одной грани исходного тетраэдра.

Шаг 5. Полная площадь нового многогранника: $8 \times \frac{1}{4} \times \frac{S_{\text{полн}}}{4} = \frac{1}{2}S_{\text{полн}} = \frac{1}{2} \times 12 = 6$.