Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Обозначим сторону квадратного основания пирамиды за $a$.

Вписанный конус: Его основание — окружность, вписанная в квадрат основания пирамиды. Диаметр этой окружности равен стороне квадрата: $d_1 = a$, радиус $r_1 = \frac{a}{2}$.

Описанный конус: Его основание — окружность, описанная около квадрата основания пирамиды. Диаметр этой окружности равен диагонали квадрата: $d_2 = a\sqrt{2}$, радиус $r_2 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Высоты конусов: Оба конуса имеют одну и ту же высоту — высоту пирамиды. Обозначим её $h$.

Объемы конусов: Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Для вписанного конуса: $$V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h = \frac{\pi a^2 h}{12}$$

Для описанного конуса: $$V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2a^2}{4} \cdot h = \frac{\pi a^2 h}{6}$$

Отношение объемов: $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{6}}{\frac{\pi a^2 h}{12}} = \frac{12}{6} = 2$$