Задача 27123. Комбинации тел

Конус описан около пирамиды, значит основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (окружность). Это ключевой момент: все вершины квадрата лежат на окружности основания конуса.

Найдём радиус основания конуса. Квадрат со стороной 4 имеет диагональ $AC = 4\sqrt{2}$. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине диагонали: $$r = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Высота конуса совпадает с высотой пирамиды (вершина пирамиды и конуса — одна точка): $h = 6$.

Объём конуса: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Подставляем значения: $$V = \frac{1}{3}\pi (2\sqrt{2})^2 \cdot 6 = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot 6 = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 = 16\pi$$

Делим объём на $\pi$: $$\frac{V}{\pi} = \frac{16\pi}{\pi} = 16$$