Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Шаг 1. Найдём радиус сферы.

Сфера с центром в вершине $A$ проходит через точку $A_1$. Расстояние от $A$ до $A_1$ — это боковое ребро куба, поэтому $$R = AA_1 = 1,6$$

Шаг 2. Определим, какая часть сферы лежит внутри куба.

Вершина $A$ куба расположена в углу. Из этой вершины выходят три взаимно перпендикулярных ребра (например, $AB$, $AD$, $AA_1$). Это означает, что внутри куба находится часть сферы, ограниченная тремя взаимно перпендикулярными плоскостями, проходящими через центр сферы.

Такая область — это ровно $\frac{1}{8}$ от всей сферы (одна из восьми октант).

Шаг 3. Найдём площадь поверхности сферы внутри куба.

Полная площадь поверхности сферы: $S_{\text{полн}} = 4\pi R^2$

Площадь $\frac{1}{8}$ части поверхности: $$S = \frac{1}{8} \cdot 4\pi R^2 = \frac{\pi R^2}{2}$$

Шаг 4. Вычислим с конкретными значениями. $$S = \frac{\pi \cdot (1,6)^2}{2} = \frac{\pi \cdot 2,56}{2} = 1,28\pi$$

Шаг 5. Найдём ответ в требуемой форме. $$\frac{S}{\pi} = \frac{1,28\pi}{\pi} = 1,28$$