Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Когда сфера вписана в прямоугольный параллелепипед, она касается всех шести его граней. Это возможно только в том случае, если параллелепипед является кубом.

Почему куб? Если бы стороны были разными, сфера не смогла бы одновременно касаться противоположных граней — расстояние между ними было бы разным.

Диаметр вписанной сферы равен ребру куба. Так как радиус $R = 4$, диаметр $d = 2R = 8$. Это значит, ребро куба $a = 8$.

Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$.

Подставляем: $V = 8^3 = 512$.