Задача 502070. Комбинации тел

Когда сфера вписана в прямоугольный параллелепипед, она касается всех шести его граней. Это возможно только в том случае, если все три измерения параллелепипеда равны между собой — иными словами, это куб.

Почему? Сфера касается противоположных граней, поэтому расстояние между ними равно диаметру сферы: $d = 2r$. Если бы стороны параллелепипеда были разными, то сфера не могла бы одновременно касаться всех шести граней.

Ребро куба равно расстоянию между двумя противоположными гранями, которое равно диаметру сферы: $$a = 2r = 2 \cdot 17 = 34$$

Объём куба вычисляется по формуле: $$V = a^3 = 34^3$$

Вычислим $34^3$: $$34^3 = (30 + 4)^3 = 30^3 + 3 \cdot 30^2 \cdot 4 + 3 \cdot 30 \cdot 4^2 + 4^3$$ $$= 27000 + 10800 + 1440 + 64 = 39304$$

Или проще: $34^2 = 1156$, тогда $34^3 = 1156 \cdot 34 = 39304$.