Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Когда сферу описывают около параллелепипеда, это означает, что сфера касается всех его граней изнутри.

Шаг 1. Вспомним, какой параллелепипед может быть описан около сферы.

Если сфера касается всех шести граней прямоугольного параллелепипеда, то расстояния от центра сферы до каждой грани равны радиусу сферы $r = 1$. Центр сферы совпадает с центром параллелепипеда.

Шаг 2. Установим соотношение между рёбрами параллелепипеда.

Обозначим рёбра параллелепипеда как $a$, $b$, $c$. Расстояние от центра параллелепипеда до грани, перпендикулярной ребру $a$, равно $\frac{a}{2}$. Так как это расстояние должно равняться $r = 1$, получаем $\frac{a}{2} = 1$, откуда $a = 2$. Аналогично $b = 2$ и $c = 2$.

Шаг 3. Вывод о форме параллелепипеда.

Так как все три ребра равны, параллелепипед является кубом с ребром 2.

Шаг 4. Вычислим площадь поверхности куба.

Площадь одной грани: $S_{\text{грани}} = 2^2 = 4$.

Площадь поверхности куба (6 граней): $S = 6 \cdot 4 = 24$.