Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Представь исходный тетраэдр с вершинами A, B, C, D и объёмом 19.

Когда мы берём середины всех шести рёбер тетраэдра, они образуют многогранник (октаэдр). Чтобы найти его объём, удобно понять, что отрезается от исходного тетраэдра.

При каждой вершине исходного тетраэдра образуется маленький тетраэдр. Например, при вершине A его вершинами будут сама точка A и три точки — середины трёх рёбер, выходящих из A.

Вычислим объём такого маленького тетраэдра. Если рёбра исходного тетраэдра имеют длину $a$, то рёбра маленького тетраэдра (идущие из вершины A) имеют длину $\frac{a}{2}$. При масштабировании в $k$ раз объём меняется в $k^3$ раз. Здесь масштаб $k = \frac{1}{2}$, поэтому объём маленького тетраэдра равен $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ объёма исходного.

Таких маленьких тетраэдров четыре (по одному при каждой вершине), каждый объёмом $\frac{1}{8}V_0$.

Объём искомого многогранника: $$V = V_0 - 4 \cdot \frac{1}{8}V_0 = V_0 - \frac{1}{2}V_0 = \frac{1}{2}V_0 = \frac{1}{2} \cdot 19 = 9,5$$