Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Обозначим радиус сферы за $R$. По условию центр сферы находится в центре основания конуса.

Поскольку сфера описана около конуса, она проходит через вершину конуса и через окружность основания. Это значит, что расстояние от центра сферы (точка в центре основания) до вершины конуса равно $R$, и расстояние от центра до любой точки окружности основания тоже равно $R$.

Высота конуса $h$ — это расстояние от вершины до центра основания, поэтому $h = R$. Радиус основания конуса обозначим $r$. Так как точки окружности основания лежат на сфере, расстояние от центра сферы до них равно $R$: $$\sqrt{h^2 + r^2} = R$$

Подставляем $h = R$: $$\sqrt{R^2 + r^2} = R$$

Это невозможно при положительных значениях. Пересмотрим: радиус основания конуса и радиус сферы связаны через образующую.

Образующая конуса $l$ связывает вершину с точкой на окружности основания. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному высотой $h = R$, радиусом основания $r = R$ (так как сфера содержит основание) и образующей: $$l^2 = h^2 + r^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$$ $$l = R\sqrt{2}$$

По условию $l = 7\sqrt{2}$, поэтому: $$R\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$ $$R = 7$$