Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Шаг 1: Определим, где лежит центр сферы.

По условию центр описанной сферы находится в центре основания конуса. Обозначим центр основания (и центр сферы) как $O$, вершину конуса как $S$, а радиус сферы как $R = 28\sqrt{2}$.

Шаг 2: Найдём высоту конуса.

Поскольку центр сферы лежит в точке $O$ (центр основания), а вершина $S$ лежит на сфере, расстояние от $O$ до $S$ равно радиусу сферы: $$h = OS = R = 28\sqrt{2}$$

Шаг 3: Найдём радиус основания конуса.

Окружность основания конуса также лежит на сфере. Все точки этой окружности находятся на расстоянии $R$ от центра $O$. Точки основания лежат в плоскости основания, поэтому их расстояние от $O$ (по горизонтали) — это радиус основания конуса $r$.

Применяя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике (где $O$ — центр основания, $A$ — точка на окружности основания, $S$ — вершина): $$R^2 = h^2 + r^2$$

Но так как $h = R$, получаем: $$R^2 = R^2 + r^2$$

Это работает только если $r = R$. Проверим иначе: точка на окружности основания находится на расстоянии $r$ от оси и на расстоянии $h$ вдоль оси. Для таких точек: $r^2 + 0^2 = R^2$ в 2D проекции неверно.

Перепроверим: расстояние от $O$ до точки окружности основания равно $r$, это же точка лежит на сфере. Точки окружности лежат в плоскости основания на расстоянии $r$ от $O$. Значит: $r = R = 28\sqrt{2}$.

Шаг 4: Найдём образующую.

Образующая $l$ конуса — это расстояние от вершины $S$ до точки на окружности основания. Применим теорему Пифагора: $$l^2 = h^2 + r^2 = (28\sqrt{2})^2 + (28\sqrt{2})^2 = 2 \cdot (28\sqrt{2})^2$$ $$l^2 = 2 \cdot 784 \cdot 2 = 3136$$ $$l = 56$$