Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинации тел

Шаг 1. Найдём образующую конуса.

Для конуса боковая поверхность вычисляется по формуле $S_{\text{кон}} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, $l$ — образующая.

Образующая связана с высотой и радиусом теоремой Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.

По условию $h = r$, поэтому: $$l^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \implies l = r\sqrt{2}$$

Шаг 2. Найдём квадрат радиуса из условия на площадь боковой поверхности конуса.

Подставим $l = r\sqrt{2}$ в формулу боковой поверхности конуса: $$S_{\text{кон}} = \pi r \cdot r\sqrt{2} = \pi\sqrt{2}r^2$$

По условию $S_{\text{кон}} = 3\sqrt{2}$, значит: $$\pi\sqrt{2}r^2 = 3\sqrt{2}$$

Делим на $\sqrt{2}$: $$\pi r^2 = 3 \implies r^2 = \frac{3}{\pi}$$

Шаг 3. Найдём площадь боковой поверхности цилиндра.

Боковая поверхность цилиндра: $S_{\text{цил}} = 2\pi r h$.

Поскольку $h = r$: $$S_{\text{цил}} = 2\pi r^2 = 2\pi \cdot \frac{3}{\pi} = 6$$