Задача 901. Пирамида

В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник, а вершина S проецируется на центр основания. Точка O, в которой пересекаются биссектрисы треугольника ABC, — это центр (центроид) равностороннего треугольника.

Отрезок SO перпендикулярен плоскости основания ABC, поэтому SO — высота пирамиды. Обозначим её через $h = SO$.

Для объёма пирамиды используем формулу: $$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$$

Подставляем известные значения: $V = 6$ и $S_{ABC} = 2$: $$6 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot h$$

Умножаем обе части на 3: $$18 = 2h$$

Делим на 2: $$h = 9$$

Следовательно, $OS = 9$.