ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка OS.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: Высота пирамиды проходит через центр основания (точку пересечения медиан), и объём выражается через площадь основания и высоту — из этой формулы находим высоту.

В правильной треугольной пирамиде центр основания (точка пересечения медиан) совпадает с центром описанной и вписанной окружностей треугольника. Отрезок OS, соединяющий вершину пирамиды с этой точкой, перпендикулярен плоскости основания ABC, то есть является высотой пирамиды.

Для объёма пирамиды используется формула: V=13Sосн⋅hV = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h

где SоснS_{\text{осн}} — площадь основания, а hh — высота.

Подставляем известные значения: объём V=5V = 5, площадь основания SABC=2S_{ABC} = 2, высота h=OSh = OS (что ищем):

5=13⋅2⋅OS5 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot OS

Умножаем обе части на 3: 15=2⋅OS15 = 2 \cdot OS

Делим на 2: OS=152=7,5OS = \frac{15}{2} = 7,5

Длина отрезка OS равна 7,5.

Типичные ошибки

  • Забывают, что в правильной пирамиде высота опускается именно в центр основания (точку O), а не в произвольную точку
  • Ошибаются в формуле объёма — используют V=S⋅hV = S \cdot h вместо V=13S⋅hV = \frac{1}{3} S \cdot h
  • Неверно выражают высоту из формулы — получают OS=2VSOS = \frac{2V}{S} вместо OS=3VSOS = \frac{3V}{S}
Непонятно?

Похожие задачи