ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задача 903. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка OS.

В подтеме 69 задач

Разбор

Главная идея: Высота пирамиды проходит через центр основания (точку пересечения медиан), и объём выражается через площадь основания и высоту — из этой формулы находим высоту.

В правильной треугольной пирамиде центр основания (точка пересечения медиан) совпадает с центром описанной и вписанной окружностей треугольника. Отрезок OS, соединяющий вершину пирамиды с этой точкой, перпендикулярен плоскости основания ABC, то есть является высотой пирамиды.

Для объёма пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Подставляем известные значения: объём $V = 5$ , площадь основания $S_{ABC} = 2$ , высота $h = OS$ (что ищем):

$5 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot OS$

Умножаем обе части на 3: $15 = 2 \cdot OS$

Делим на 2: $OS = \frac{15}{2} = 7,5$

Длина отрезка OS равна 7,5.

Типичные ошибки

Забывают, что в правильной пирамиде высота опускается именно в центр основания (точку O), а не в произвольную точку
Ошибаются в формуле объёма — используют $V = S \cdot h$ вместо $V = \frac{1}{3} S \cdot h$
Неверно выражают высоту из формулы — получают $OS = \frac{2V}{S}$ вместо $OS = \frac{3V}{S}$

Задача 903. Пирамида

Типичные ошибки

Ещё задачи этой подтемы