Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат ABCD, а вершина S проектируется в центр основания H.

Шаг 1. Найдём расстояние от центра квадрата до вершины основания.

Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам в точке H. Рассмотрим треугольник AHB — он прямоугольный (угол при H равен 90°) и равнобедренный (так как H — центр квадрата, равноудалённый от всех вершин).

Диагональ квадрата со стороной $a = 3\sqrt{2}$ равна $a\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6$. Половина диагонали — это расстояние от центра до вершины: $$AH = \frac{6}{2} = 3$$

Альтернативно, по формуле для равнобедренного прямоугольного треугольника: $AH = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$.

Шаг 2. Найдём высоту пирамиды.

Треугольник SHA прямоугольный (SH ⊥ основанию). Используем теорему Пифагора: $$SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$

Шаг 3. Вычислим объём.

Площадь основания (квадрата): $$S_{\text{осн}} = AB^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$$

Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 4 = 24$$