Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Шаг 1. Найдём высоту пирамиды.

В правильной шестиугольной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Ключевое свойство: в правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, то есть $R = 2$.

Боковое ребро, высота и радиус описанной окружности образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

Шаг 2. Найдём площадь основания.

Правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ состоит из 6 равносторонних треугольников. Площадь каждого: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Общая площадь основания: $$S = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$$

Шаг 3. Вычислим объём.

Формула объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3}Sh$

$$V = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$$