ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O  — центр основания, S  — вершина, SO=8, BD=30. Найдите боковое ребро SC.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: В правильной пирамиде высота перпендикулярна основанию и попадает в его центр, поэтому боковое ребро, высота и половина диагонали основания образуют прямоугольный треугольник, к которому применима теорема Пифагора.

В правильной четырёхугольной пирамиде вершина S проецируется на центр основания O. Это означает, что SO перпендикулярна плоскости основания ABCD, то есть SO — высота пирамиды.

Поскольку основание — квадрат, его диагонали пересекаются в центре O и делятся пополам. Диагональ BD = 30, поэтому расстояние от центра O до вершины B (или до любой вершины основания) равно: BO=BD2=302=15BO = \frac{BD}{2} = \frac{30}{2} = 15

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник SOC (или SOB — по симметрии боковые рёбра в правильной пирамиде равны). В этом треугольнике:

  • SO = 8 (высота) — один катет
  • OC = BO = 15 (половина диагонали основания) — второй катет
  • SC — искомое боковое ребро (гипотенуза)

Применим теорему Пифагора: SC=SO2+OC2=82+152=64+225=289=17SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17

Типичные ошибки

  • Забыли разделить диагональ BD пополам — неправильно подставили BD вместо BO в формулу.
  • Спутали половину диагонали с половиной стороны основания — в квадрате эти величины разные.
  • Ошибка в арифметике при вычислении корня из 289 или при возведении чисел в квадрат.
Непонятно?

Похожие задачи