Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

В правильной четырёхугольной пирамиде вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Это значит, что $SO$ — высота пирамиды и перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Основание — квадрат, поэтому его центр $O$ равноудалён от всех вершин. В частности, $OD$ — половина диагонали квадрата.

Треугольник $SOD$ прямоугольный (угол при $O$ равен $90°$), так как $SO$ перпендикулярна основанию. Применим теорему Пифагора:

$$SD^2 = SO^2 + OD^2$$

Подставляем известные значения:

$$10^2 = 6^2 + OD^2$$ $$100 = 36 + OD^2$$ $$OD^2 = 64$$ $$OD = 8$$

Диагональ квадрата $AC$ проходит через центр $O$ и делится им пополам. Поэтому $O$ — середина $AC$, откуда:

$$AC = 2 \cdot OD = 2 \cdot 8 = 16$$