Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Шаг 1. Определяем, что SO — высота пирамиды

В правильной четырехугольной пирамиде вершина S проецируется перпендикулярно на центр основания O. Это значит, что SO ⊥ плоскости основания ABCD, то есть SO — высота пирамиды.

Шаг 2. Находим расстояние от O до вершины основания

В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат ABCD. Диагонали квадрата пересекаются в центре O и делятся пополам. Диагональ BD = 18, поэтому:

$$BO = \frac{BD}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Шаг 3. Применяем теорему Пифагора к треугольнику SOA

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA, где:

• SO = 12 (высота, катет)
• OA = BO = 9 (в квадрате диагонали равны, поэтому OA = OB = OC = OD = 9, второй катет)
• SA — боковое ребро (гипотенуза)

По теореме Пифагора:

$$SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$