Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Шаг 1: Найдём площадь основания

Основание — правильный шестиугольник со стороной $a = 1$. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Найдём высоту пирамиды

Формула объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3}Sh$

Отсюда выражаем высоту: $$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot 6}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{18 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$$

Шаг 3: Найдём боковое ребро

В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне: $R = a = 1$.

Боковое ребро $l$ соединяет вершину пирамиды с вершиной основания. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике (высота, радиус, боковое ребро): $$l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{48 + 1} = \sqrt{49} = 7$$