Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Октаэдр — правильный многогранник, поверхность которого состоит из 8 равносторонних треугольников.

Пусть исходное ребро октаэдра равно $a$. Площадь одного равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $$S_{\text{треуг}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Полная площадь поверхности октаэдра: $$S_{\text{полная}} = 8 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 2a^2\sqrt{3}$$

Теперь увеличиваем каждое ребро в 3 раза: новое ребро равно $3a$.

Площадь одного треугольника с новой стороной: $$S'_{\text{треуг}} = \frac{(3a)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9a^2\sqrt{3}}{4}$$

Видно, что площадь одного треугольника увеличилась в $\frac{9a^2\sqrt{3}/4}{a^2\sqrt{3}/4} = 9$ раз.

Полная площадь новой поверхности: $$S'_{\text{полная}} = 8 \cdot \frac{9a^2\sqrt{3}}{4} = 9 \cdot 2a^2\sqrt{3} = 9 \cdot S_{\text{полная}}$$

Площадь поверхности увеличивается в 9 раз.