Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Объём правильного тетраэдра выражается формулой:

$$V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3$$

где $a$ — длина ребра.

Зависимость объёма от длины ребра кубическая: $V \propto a^3$.

Если увеличить все рёбра в 2 раза, то новая длина ребра будет $a' = 2a$.

Подставим в формулу:

$$V' = \frac{\sqrt{2}}{12} (2a)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 8a^3 = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 = 8V$$

Отношение объёмов:

$$\frac{V'}{V} = \frac{8V}{V} = 8$$

Общее правило: при изменении линейных размеров подобной фигуры в $k$ раз объём изменяется в $k^3$ раз. Здесь $k = 2$, поэтому объём увеличится в $2^3 = 8$ раз.