Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Правильный тетраэдр состоит из четырёх равносторонних треугольников. Найдём площадь поверхности.

Шаг 1: Площадь одного равностороннего треугольника

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ площадь вычисляется по формуле: $$S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

Это формула можно вывести через высоту треугольника $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$, но в профильном ЕГЭ она известна.

Шаг 2: Площадь поверхности исходного тетраэдра

Поскольку тетраэдр состоит из 4 одинаковых граней: $$S_{\text{полная}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}a^2$$

Шаг 3: Изменение при увеличении рёбер в 2 раза

Если каждое ребро увеличить в 2 раза, новое ребро станет $2a$. Площадь одной грани: $$S'_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(2a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4a^2 = \sqrt{3}a^2$$

Полная поверхность: $$S'_{\text{полная}} = 4\sqrt{3}a^2$$

Шаг 4: Отношение площадей

$$\frac{S'_{\text{полная}}}{S_{\text{полная}}} = \frac{4\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3}a^2} = 4$$

Вообще, когда все линейные размеры увеличиваются в $k$ раз, все площади увеличиваются в $k^2$ раз. Здесь $k = 2$, поэтому площадь растёт в $2^2 = 4$ раза.