Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду SABCD со всеми рёбрами длины 1. Основание — квадрат ABCD со стороной 1, боковые рёбра SA, SB, SC, SD тоже равны 1.

Обозначим середины боковых рёбер: M — середина SA, N — середина SB, K — середина SC, L — середина SD.

Шаг 1: Найдём длину стороны сечения.

Рассмотрим боковую грань SAB. В ней проведена линия MN, соединяющая середины рёбер SA и SB. По свойству средней линии треугольника, MN параллельна AB и равна половине AB: $$MN = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

Аналогично в каждой боковой грани сечение образует среднюю линию:

• в грани SAB: $MN = 0{,}5$
• в грани SBC: $NK = 0{,}5$
• в грани SCD: $KL = 0{,}5$
• в грани SDA: $LM = 0{,}5$

Шаг 2: Покажем, что сечение — квадрат.

Каждая сторона сечения параллельна соответствующей стороне основания (MN ∥ AB, NK ∥ BC, KL ∥ CD, LM ∥ DA). Поскольку ABCD — квадрат, его стороны перпендикулярны. Следовательно, и стороны сечения взаимно перпендикулярны, образуя квадрат со стороной 0,5.

Шаг 3: Найдём площадь.

Площадь квадрата со стороной 0,5: $$S = (0{,}5)^2 = 0{,}25$$