Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади квадратного основания и четырёх одинаковых треугольных боковых граней: $$S = S_{\text{осн}} + 4S_{\triangle}$$

Шаг 1: Площадь основания Основание — квадрат со стороной 6: $$S_{\text{осн}} = 6^2 = 36$$

Шаг 2: Найдём апофему (высоту боковой грани) Апофема — это перпендикуляр из вершины пирамиды к середине стороны основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (она равна 4), расстоянием от центра основания до середины стороны (это половина стороны: $6/2 = 3$) и апофемой.

По теореме Пифагора: $$h_{\text{апо}} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 3: Площадь боковых граней Каждая боковая грань — треугольник с основанием 6 и высотой (апофемой) 5: $$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$$

Шаг 4: Полная площадь поверхности $$S = 36 + 4 \cdot 15 = 36 + 60 = 96$$