Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников.

Шаг 1. Найдем апофему пирамиды (высоту боковой грани).

Апофема — это высота треугольника, который является боковой гранью. Рассмотрим треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и отрезком от центра основания до середины стороны основания.

Расстояние от центра квадрата до середины его стороны равно половине стороны: $\frac{6}{2} = 3$.

Апофема $l$ соединяет вершину пирамиды с серединой стороны основания. По теореме Пифагора: $$l = \sqrt{h^2 + d^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

здесь $h = 4$ — высота пирамиды, $d = 3$ — расстояние от центра до середины стороны.

Шаг 2. Найдем площадь одной боковой грани.

Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием $a = 6$ и высотой $l = 5$: $$S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$$

Шаг 3. Найдем площадь боковой поверхности.

Так как граней четыре: $$S_{\text{бок}} = 4 \cdot 15 = 60$$