Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Шаг 1: Найдём площадь основания.

Основание — квадрат со стороной 10, поэтому: $$S_{\text{осн}} = 10^2 = 100$$

Шаг 2: Вычислим полупериметр основания.

Периметр квадрата: $P = 4 \cdot 10 = 40$

Полупериметр: $p = \frac{40}{2} = 20$

Шаг 3: Найдём апофему боковой грани.

Апофема — это высота треугольника боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к середине стороны основания. Она перпендикулярна к стороне основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:

• гипотенуза — боковое ребро, равное 13
• один катет — расстояние от центра основания до середины стороны, равное $\frac{10}{2} = 5$ (половина стороны квадрата)
• другой катет — апофема $h$

По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Шаг 4: Найдём площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность состоит из четырёх треугольников. Их общая площадь: $$S_{\text{бок}} = p \cdot h = 20 \cdot 12 = 240$$

Шаг 5: Найдём полную площадь поверхности.

$$S = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 240 + 100 = 340$$