Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3}Sh$$ где $S$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды.

Шаг 1: Найдём площадь основания.

Основание — правильный треугольник со стороной $a = 1$. Площадь равностороннего треугольника: $$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

Эта формула получается из того, что высота равностороннего треугольника равна $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, а площадь — полупроизведение основания на высоту.

Шаг 2: Подставим в формулу объёма.

Высота пирамиды $h = \sqrt{3}$. Подставляем найденную площадь: $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3}$$

Шаг 3: Упростим произведение корней.

$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

Произведение $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, поэтому корни исчезают.

$$V = \frac{1}{4} = 0{,}25$$